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非負(fù)整數(shù)集
全體自然數(shù)的集合
基本信息
| 中文名 | 非負(fù)整數(shù)集 |
| 外文名 | set of nonnegative integers |
| 別名 | |
| 應(yīng)用學(xué)科 |
定義
全體非負(fù)整數(shù)的集合通常稱非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。非負(fù)整數(shù)集包含
等自然數(shù)。數(shù)學(xué)上用黑體大寫字母"N"表示非負(fù)整數(shù)集。非負(fù)整數(shù)包括正整數(shù)和零。非負(fù)整數(shù)集是一個可列集。
性質(zhì)
1、在非負(fù)整數(shù)集中，有一個最小的自然數(shù)0；在N中除去零之后，其余的自然數(shù)構(gòu)成的數(shù)集稱為正整數(shù)集，常用符號
或N表示，1在中是最小的元素；在N和中都沒有最大的自然數(shù)；它們都是無限集。
2、自然數(shù)1通常稱為單位。
3、在N和中，任取一數(shù)在它上面加單位1，所得的數(shù)稱為該數(shù)的后繼數(shù)，從最小元素開始逐個加1，這樣無限地進(jìn)行下去，就可得到該數(shù)集中所有其他元素，最小元素不是任何元素的后繼數(shù)。
5、0加任何自然數(shù)，其和仍是原來那個自然數(shù)，1乘任何自然數(shù)，其積仍是原來那個自然數(shù)，所以自然數(shù)都是1的倍數(shù)。
7、如果0具有性質(zhì)P，則任何具有性質(zhì)P的自然數(shù)的后繼數(shù)都具有性質(zhì)P。
9、在非負(fù)整數(shù)集中的任意兩個元素都可以比較大小，所以自然數(shù)集是有序集。
12、在非負(fù)整數(shù)集中的加法、乘法運(yùn)算滿足消去律。
13、非負(fù)整數(shù)集的任一非空子集必存在一個最小的非負(fù)整數(shù)，此結(jié)論稱為最小數(shù)原理。
非負(fù)整數(shù)
自然數(shù)（naturalnumber），是非負(fù)（目前課本中未將0列為自然數(shù)）/正整數(shù)
。認(rèn)為自然數(shù)不包含零的其中一個理由是因?yàn)槿藗冊陂_始學(xué)習(xí)數(shù)字的時候是由“一、二、三...”開始，而不是由“零、一、二、三...”開始，因?yàn)檫@樣是非常不自然的。
自然數(shù)通常有兩個作用：可以被用來計(jì)數(shù)（如“有七個蘋果”），參閱基數(shù)；也可用于排序（如“這是國內(nèi)第三大城市”），參閱序數(shù)。
自然數(shù)組成的集合是一個可數(shù)的，無上界的無窮集合。數(shù)學(xué)家一般以N來表示它。（以N*表示除0之外的自然數(shù)）自然數(shù)集上有加法和乘法運(yùn)算，兩個自然數(shù)相加或相乘的結(jié)果仍為自然數(shù)。也可以作減法或除法，但相減和相除的結(jié)果未必都是自然數(shù)，所以減法和除法運(yùn)算在自然數(shù)集中并不是總能成立的。
自然數(shù)是人們認(rèn)識的數(shù)系中最基本的一類。為了使數(shù)的系統(tǒng)有嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家建立了關(guān)于自然數(shù)的兩種理論：自然數(shù)的序數(shù)理論和基數(shù)理論，使自然數(shù)的概念、運(yùn)算和有關(guān)性質(zhì)得到嚴(yán)格的論述。自然數(shù)的加法、乘法運(yùn)算可以在序數(shù)或基數(shù)理論中給出定義，并且兩種理論下的運(yùn)算是一致的。
在全球范圍內(nèi)，目前針對0是否屬于自然數(shù)的爭論依舊存在。在中國大陸，2000年左右之前的中小學(xué)教材一般不將0列入自然數(shù)之內(nèi)，或稱其屬于“擴(kuò)大的自然數(shù)列”。在2000年左右之后的新版中小學(xué)教材中，普遍將0列入自然數(shù)。
等勢集合
和非負(fù)整數(shù)集等勢的集合有：
1、由自然數(shù)的有限序列組成的集合
2、整數(shù)集
4、代數(shù)數(shù)集
5、可數(shù)個可數(shù)集合的并集
非負(fù)整數(shù)集的勢嚴(yán)格小于實(shí)數(shù)集的勢，即兩者間不能建立一一對應(yīng)（詳見對角論證法）。事實(shí)上，實(shí)數(shù)集的勢是2，即自然數(shù)集的冪集的勢。
參考資料
[1]
為什么非負(fù)整數(shù)集要叫自然數(shù)集?_知乎 · 知乎[引用日期2021-07-11]
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