格點(diǎn)問(wèn)題（研究區(qū)域中格點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題）
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格點(diǎn)問(wèn)題
研究區(qū)域中格點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題
格點(diǎn)，又稱整點(diǎn)，指坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，格點(diǎn)問(wèn)題就是研究一些特殊區(qū)域甚至一般區(qū)域中的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)的問(wèn)題。
基本信息
| 中文名 | 格點(diǎn)問(wèn)題 |
| 外文名 | problem on lattice point |
| 別名 | 整點(diǎn)問(wèn)題 |
| 性質(zhì) | 研究特殊區(qū)域 |
起源
格點(diǎn)問(wèn)題起源于以下兩個(gè)問(wèn)題的研究：
（1）狄利克雷除數(shù)問(wèn)題，即求
時(shí)
區(qū)域
上的格點(diǎn)數(shù)。1849年，狄利克雷證明了
，這里ν為歐拉常數(shù)，
，這一問(wèn)題的目的是要求出使余項(xiàng)估計(jì)
成立的又的下確界
。
（2）圓內(nèi)格點(diǎn)問(wèn)題：設(shè)
圓內(nèi)
上的格點(diǎn)數(shù)。高斯證明了
，這里
，求使余項(xiàng)估計(jì)
成立的λ的下確界α的問(wèn)題，稱之為圓內(nèi)格點(diǎn)問(wèn)題或高斯圓問(wèn)題。
1903年，Г．Ф．沃羅諾伊證明了
；1906年，謝爾品斯基證明了
；20世紀(jì)30年代，J．G．科普特證明了
；1934－1935年，E．C．蒂奇馬什證明了
；1942年，華羅庚證明了
；1963年陳景潤(rùn)、尹文霖證明了
；1950年遲宗陶證明了
，1953年H．里歇證明了同樣的結(jié)果；1963年，尹文霖證明了
，1985年，Г．A．科列斯尼克證明了
；1985年，W．G．諾瓦克證明了
。在下限方面，1916年，哈代已證明
；1940年，A．E．英厄姆證明了
。人們還猜測(cè)
，但至今未能證明。由此直接推廣出k維除數(shù)問(wèn)題，球內(nèi)格點(diǎn)問(wèn)題以及k維橢球內(nèi)的格點(diǎn)問(wèn)題等。
其他相關(guān)信息
或稱整點(diǎn)問(wèn)題，研究一些特殊區(qū)域甚至一般區(qū)域中的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)。格點(diǎn)又稱整點(diǎn)，是指坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)。格點(diǎn)問(wèn)題是數(shù)論中的一類重要問(wèn)題，起源于以下兩個(gè)著名問(wèn)題的研究：①狄利克雷除數(shù)問(wèn)題。設(shè)
表區(qū)域
上的格點(diǎn)個(gè)數(shù)。1849年，P.G.L.狄利克雷證明了
，這里
,у是歐拉常數(shù)。這一問(wèn)題的目的是要求出使余項(xiàng)估計(jì)
成立的λ的下確界θ。因?yàn)?/span>
,其中
是除數(shù)函數(shù)，所以把這一格點(diǎn)問(wèn)題稱為狄利克雷除數(shù)問(wèn)題。 ②圓內(nèi)格點(diǎn)問(wèn)題。設(shè)
表圓
上的格點(diǎn)數(shù)。C.F.高斯證明了 
,這里
。
求使余項(xiàng)估計(jì)算
成立的λ的下確界α的問(wèn)題, 稱為圓內(nèi)格點(diǎn)問(wèn)題或高斯圓問(wèn)題。顯有
,這里
是
的全體整數(shù)解的個(gè)數(shù)。利用初等方法,1903年,Γ.Ф.沃羅諾伊證明了
；1906年,W.謝爾平斯基證明了；利用較深的分析方法，1922～1937年，J.G.范·德·科普特首先證明了
；1934～1935年，E.C.蒂奇馬什證明了；1942年，華羅庚證明了；1963年，陳景潤(rùn)、尹文霖證明了；1950年遲宗陶和1953年H.-E.里歇先后證明了
，他們所用的方法都是閔嗣鶴提出的;1963年，尹文霖證明了；1985年, Γ.Α. 科列斯尼克證明了，1985年,W.G.諾瓦克證明了。另一方面,1916年G.H.哈代已證明；1940年，A.E.英厄姆已證明。一些數(shù)學(xué)家還對(duì)余項(xiàng)
的均值做了估計(jì)。猜測(cè),但是至今未能證明。這兩個(gè)問(wèn)題的直接推廣是k維除數(shù)問(wèn)題、球內(nèi)格點(diǎn)問(wèn)題以及k 維橢球內(nèi)的格點(diǎn)問(wèn)題等。對(duì)一般格點(diǎn)問(wèn)題也有不少研究。關(guān)于這些問(wèn)題中國(guó)數(shù)學(xué)家做了不少工作。直到2007年Sylvain E. Cappell and Julius L. Shaneson在著名的預(yù)印本網(wǎng)站arxiv發(fā)表論 文《some problems in number theory 1：the circle problem》，聲稱他們已解決這個(gè)問(wèn)題。
關(guān)于一般平面區(qū)域的格點(diǎn)問(wèn)題，M.V.賈爾尼科推廣高斯的方法后于1924年證明了：設(shè)Г是可求長(zhǎng)的約當(dāng)閉曲線，其長(zhǎng)為l，其所圍面積為 A；N是Г內(nèi)及其上的格點(diǎn)數(shù)，則有
。
整點(diǎn)問(wèn)題舉例
·平面上任何4n-3個(gè)整點(diǎn)中必可取出n個(gè)整點(diǎn)使其重心仍為整點(diǎn)?
·1983年Kemnitz猜想，用初等方法是無(wú)法解決這一困難猜想的。
·2000年有人使用代數(shù)方法成功地證明
換成
時(shí)猜想正確。
·2003年德國(guó)Reiher(bornApril 19, 1984)出人意料地將代數(shù)方法與組合方法巧妙地結(jié)合起來(lái)，攻下有20年之久的Kemnitz猜想
格點(diǎn)問(wèn)題相關(guān)的文章
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尚可名片
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