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算術(shù)基本定理（歐幾里得提出的數(shù)學(xué)定理）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-22

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算術(shù)基本定理

歐幾里得提出的數(shù)學(xué)定理

算術(shù)基本定理，又稱為正整數(shù)的唯一分解定理，即:每個(gè)大于1的自然數(shù)均可寫為質(zhì)數(shù)的積，而且這些素因子按大小排列之后，寫法僅有一種方式。

基本信息

中文名	算術(shù)基本定理
外文名	Fundamental Theorem of Arithmetic
別名	正整數(shù)的唯一分解定理
提出者	歐幾里得
應(yīng)用學(xué)科	數(shù)學(xué)
適用領(lǐng)域	交換代數(shù)和代數(shù)數(shù)論等

收起

定理內(nèi)容

　　任何一個(gè)大于1的自然數(shù)N，都可以唯一分解成有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 這里P_1 <... 質(zhì)數(shù)，其諸方冪 ai 是正整數(shù)。

　　這樣的分解稱為N 的標(biāo)準(zhǔn)分解式。

定理證明

　　算術(shù)基本定理的最早證明是由歐幾里得給出的。

大于1的自然數(shù)必可寫成素?cái)?shù)之積

　　用反證法：假設(shè)存在大于1的自然數(shù)不能寫成質(zhì)數(shù)的乘積，把最小的那個(gè)稱為n。

　　自然數(shù)可以根據(jù)其可除性（是否能表示成兩個(gè)不是自身的自然數(shù)的乘積）分成3類：質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。首先，按照定義， n 大于1。其次， n 不是質(zhì)數(shù)，因?yàn)橘|(zhì)數(shù)p可以寫成質(zhì)數(shù)乘積：p=p，這與假設(shè)不相符合。因此n只能是合數(shù)，但每個(gè)合數(shù)都可以分解成兩個(gè)嚴(yán)格小于自身而大于1的自然數(shù)的積。設(shè)其中 a 和 b 都是介于1和 n 之間的自然數(shù)，因此，按照 n 的定義， a 和 b 都都可以寫成質(zhì)數(shù)的乘積。從而

　　也可以寫成質(zhì)數(shù)的乘積。由此產(chǎn)生矛盾。因此大于1的自然數(shù)必可寫成質(zhì)數(shù)的乘積。

唯一性

　　引理：若質(zhì)數(shù) p | ab，則 p | a∨p | b正確（兩者至少有一為真命題）。

　　引理的證明：若 p | a 則證明完畢。若，那么兩者的最大公約數(shù)為1。根據(jù)裴蜀定理，存在( m, n) 使得 ma + np = 1。于是 b = b( ma + np) = abm + bnp。由于 p | ab，上式右邊兩項(xiàng)都可以被 p整除。所以 p | b。

　　再用反證法：假設(shè)有些大于1的自然數(shù)可以以多于一種的方式寫成多個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，那么假設(shè) n 是最小的一個(gè)。

　　首先 n 不是質(zhì)數(shù)。將 n 用兩種方法寫出：

根據(jù)引理，質(zhì)數(shù)

　　所以中有一個(gè)能被 p1整除，不妨設(shè)為 q1。但 q1也是質(zhì)數(shù)，因此 q1 = p1 。所以，比n小的正整數(shù)也可以寫成這與 n 的最小性矛盾！

　　因此唯一性得證。

定理應(yīng)用

　　（1）一個(gè)大于1的正整數(shù)N，如果它的標(biāo)準(zhǔn)分解式為： N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an)

　　那么它的正因數(shù)個(gè)數(shù)為（1+a1)(1+a2).....(1+an)。

　　（2）它的全體正因數(shù)之和為d(N)=(1+p_1+...p_1^an)(1+p_2+...p_2^a2)...(1+p_n+...+p_n^an)

　　當(dāng)d(N)=2N時(shí)就稱N為完全數(shù)。是否存在奇完全數(shù)，是一個(gè)至今未解決之猜想。

　　（3）利用算術(shù)基本定理可以重新定義整數(shù)a和b的最大公因子（a,b）和最小公倍數(shù)[a,b], 并證明ab=(a,b)[a,b].

　　（4）此外還可證明根號(hào)2是無理數(shù)等等（畢達(dá)哥拉斯）。

　　（5）證明素?cái)?shù)個(gè)數(shù)無限。

定理推廣

　　此定理可推廣至更一般的交換代數(shù)和代數(shù)數(shù)論。高斯證明復(fù)整數(shù)環(huán)Z[i]也有唯一分解定理。它也誘導(dǎo)了諸如唯一分解整環(huán)，歐幾里得整環(huán)等等概念。更一般的還有戴德金理想分解定理。

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