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函數解析式
函數的表達方式之一
函數與函數解析式是完全不同的兩個概念。
函數是指兩個變量A與B之間，如果A隨著B的每個值，都有唯一確定的值與之對應，那么A就是B的函數。從對應角度理解，有兩種形式：
1、一對一，就是一個B值對應一個A值，反之，一個A值也對應一個B值（當然，此時B也是A的函數）。
2、一對多，就是多個B值對應一個A值。（此時一個A值對應多個B值，所以B不是A的函數）。
再說函數解析式，函數主要有三種表達方式：1、列表；2、圖象；3、解析式（較常用）。因此函數解析式只是函數的一種表達方式。
基本信息
| 中文名 | 函數解析式 |
| 外文名 | analytic expression |
| 表達方式 | 列表；圖象；解析式 |
簡介
函數解析式（Analytic expression）
常用函數的解析式:
一次函數
注意：通俗地講，函數反映的是兩個變量直接的（變化）關系，嚴格地說，函數是兩個數集之間的一種對應關系（映射）。而“規(guī)律”首先是一個（真）“命題”，而“命題”，在邏輯學指表達判斷的語言形式，由系詞把主詞和賓詞聯(lián)系而成。例如：‘北京是中國的首都’，這個句子就是一個命題。在現(xiàn)代哲學、邏輯學、語言學中，命題是指一個判斷（陳述）的語義（實際表達的概念），這個概念是可以被定義并觀察的現(xiàn)象。命題不是指判斷（陳述）本身。更進一步，“規(guī)律”是事物、現(xiàn)象和過程內在的、本質的必然的聯(lián)系。定律(Laws) 研究宇宙間不變的事實規(guī)律所歸納出的結論，不同于理論、假設、定義、定理，是對客觀事實的一種表達形式，通過大量具體的客觀事實經驗累積歸納而成的結論。與“函數”概念相去甚遠，不應混淆。
另外，函數的“表達式”最好不要籠統(tǒng)的稱為為“解析式”。因為很多函數并不解析（解析的概念在大學“復變函數”等課程中學習），為避免誤用，最好成為“表達式”，這樣更為妥當。
構成
主要有兩部分構成：1、表達式；2、自變量的表達范圍。例如：（1）
(2)
；顯然函數（1）和函數（2）雖然表達式相同，由于自變量范圍不同，所以是不同的兩個函數。有時，函數書寫過程中，存在省略自變量范圍的形式：如：（3）
；(4)
；（5）
，這時它們的自變量范圍就是使表達式有意義的自變量的值。（3）的自變量范圍是：x為任意實數（注：這個概念我們默認在實數范圍內討論，下同）；（4）的自變量范圍是：
；（5）·的自變量范圍是：
。
概念思路分析
解釋函數概念；函數就是根據運算規(guī)則，“算式中最少有兩個互相影響的數值”，這兩個數值稱為(變量)。其中一個是“自變量”（X），為什么叫“自變量”呢？因為這個數值可控，我們通過改變它來改變另一個變量（Y），另一個變量（Y）由于是受這個自變量（X）改變而得到的，所以另一個變量(Y)稱為這個自變量(X)的函數（在初中舊版教材中稱Y為因變量）！為什么叫“函數”？看這個詞的構成，“函”的意思是什么？
這個解釋正好又能解釋到“映射”，“不相隸屬機關”就是指這兩個變量，它們兩個之間相互工作，相互影響。映射這個定義實際是很容易解釋的，由于講的是一次函數，就不講牽涉到的知識了。由“函”字的解釋來看已經可以看出“函數”這個詞足以代表這樣一類的關系式，能看出自變量和函數之間的微妙的關系，所以就叫做“函數”了！咱們不管歷史人物怎么起名為“函數”，只看咱們怎么理解為什么叫做函數。（分析僅供參考）
一次函數
這個一次函數是最簡單情況(也稱正比例函數)，這個
也就是關于“一個本子5毛錢，你買10個需要花多少錢。”這類問題的（常數K不能變，那肯定是本子價格，能變的是自變量X，也就是你要買的數量Y是最后掏的錢）。就是沒有任何基礎（在剛才這個問題中也就是說你在買本子前你需不需要付另外的錢，你總不會還沒買本子你就要付多余的錢然后再付錢買本子吧？所以這個多余的錢這個在你買完本子后付錢就沒有從那個基礎上再付你買本子的錢），從開始就按照這個規(guī)律來走（也就是這一個本子5毛錢，10個本子應該5元錢這個規(guī)律），你就只控制X這一個來直接影響Y值，也就是函數值。
那如果是
就是你在買房子時你就要多付一個基礎錢，實際按中介機構交易方式來比喻更容易理解，“好比你要買房子，你去找中介機構了，你得先給人家50元錢，這50元錢你給人家之后不管你最后到底買不買房子，你都得掏，不可要回，也就相當于你不買房了你也得給人家這個錢！這時你這個x也就是房子數量等于0也就是不買，你也得掏那50元中介費！
這個關系式是
的函數。
函數關系式其實就是這么一回事，就是一個變量影響另一個變量這樣的關系，用未知數來代替現(xiàn)實生活中某些附加存在的數據和一些可控的數據最終造成的數據。有些數據可能變化規(guī)則詭異，但是都是有規(guī)律的（因為一切萬物都是按照規(guī)律進行的），再想想（分段函數），所以存在二次函數或者什么的。
函數解析式與函數式相類似都是求出函數x與y的函數關系。
常用函數的解析式:
（反比例函數）
求解方法
[題型一]配湊法
例1.已知
，求f(x)。
解：
令
，則
小結：此種解法為配湊法，通過觀察、分析，將右端“
”變?yōu)榻邮軐ο蟆?/span>
”的表達式，即變?yōu)楹?/span>
的表達式，這種解法對變形能力、觀察能力有一定的要求。
[題型二]換元法
例2.已知
，求f(x)。
分析：視
為一整體，應用數學的整體化思想，換元即得。
解：設
，
，則
故
。
小結：①已知f[g(x)]是關于x的函數，即
，求f(x)的解析式，通常令
，由此能解出
，將代入中，求得f(t)的解析式，再用x替換t，便得f(x)的解析式。
注意：換元后要確定新元t的取值范圍。
②換元法就是通過引入一個或幾個新的變量來替換原來的某些變量的解題方法，它的基本功能是：化難為易、化繁為簡，以快速實現(xiàn)未知向已知的轉換，從而達到順利解題的目的。常見的換元法是多種多樣的，如局部換元、整體換元、三角換元、分母換元等，它的應用極為廣泛。
[題型三]待定系數法
例3.設二次函數f(x)滿足
，且
的兩實根平方和為10，圖象過點(0，3)，求f(x)的解析式。
分析：由于f(x)是二次函數，其解析式的基本結構已定，可用待定系數法處理。
解：設
又圖象過點(0，3)∴
……②
由方程的兩實根平方和為10，得
即
……③
由①②③解得
小結：我們只要明確所求函數解析式的類型，便可設出其函數解析式，設法求出其系數即可得到結果。類似的已知f(x)為一次函數時，可設
；f(x)為反比例函數時，可設
；f(x)為二次函數時，根據條件可設
[題型四]消元法
例4.已知函數
滿足
，其中a、b、c都是非零常數，
，求函數的解析式。
分析：由于難以判斷f(x)是何種類型的函數，故不可能先設出f(x)的表達式，但如果把條件中的x換成
，即
作為一個整體量，即可得到關于f(x)，
的方程組。。
解：在已知等式中，將x換成，得，把它與原條件式聯(lián)立，得
即：
答：方法一：
圖象為開口向上的拋物線，因此只需
即可。
∴當
時，
；當
，
；當
時，a無解。
方法二：
只需 即可，
即
，以下同方法一。
參考資料
[1]
函數解析式 · 新浪[引用日期2017-11-07]
函數解析式相關的文章
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尚可名片
這家伙太懶了，什么都沒寫！
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