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連分數(shù)
數(shù)學中的概念
連分數(shù)叫做有限連分數(shù)。
基本信息
| 外文名 | continued fraction |
| 學科 | 數(shù)學 |
| 分類2 | 無限連分數(shù) |
| 分類1 | 有限連分數(shù) |
正文
繁分數(shù)
叫做有限連分數(shù)。常簡記為
。當
是整數(shù)、
是正整數(shù)時，則叫做有限簡單連分數(shù)，當n無限時,
稱為無限簡單連分數(shù)。通常連分數(shù)均指簡單連分數(shù)。給定一有理數(shù)
，用熟知的輾轉(zhuǎn)相除法，可展成有限連分數(shù)即
，其中
是輾轉(zhuǎn)相除法中依次得到的不完全商，規(guī)定
，則表法惟一。如果α是一個無理數(shù)，那么α可展成無限連分數(shù)，且表法惟一。反之，一有限連分數(shù)表一有理數(shù)，一無限連分數(shù)表一無理數(shù)。
漸近分數(shù)和完全商 在連分數(shù) 中取
漸近分數(shù)有如下簡單關(guān)系：
①
②
③
④
由此可得
存在；⑤設(shè)
，且
，則
,故在分母不大于
的諸分數(shù)中, 
與α最接近；⑥設(shè)
,則
；反之，若有一個有理數(shù)適合
，則
必為α的某個漸近分數(shù)。
完全商有如下簡單性質(zhì)：①
,一般地,；②
由此可推出實數(shù)展成連分數(shù)時表法惟一。該實數(shù)為有理數(shù)時，規(guī)定最后一個
。
循環(huán)連分數(shù) 
設(shè) ,如果
時，對某個固定的正整數(shù)k,有
,那么這樣的連分數(shù)叫做循環(huán)連分數(shù)，這種最小的 k叫做它的周期，記為
。例如 
等。運用漸近分數(shù)、完全商的性質(zhì)以及抽屜原理,J.-L.拉格朗日證明了有關(guān)循環(huán)連分數(shù)的一個重要定理：一個連分數(shù)為循環(huán)連分數(shù)，則此數(shù)是某個有理系數(shù)的二次不可約多項式的根；反之亦然。
應(yīng)用舉例 連分數(shù)有許多應(yīng)用。例如:①1891年,A.胡爾維茨證明了：在α 的三個連續(xù)漸近分數(shù)中必有一個適合
。由此可得，任一無理數(shù)α
。式中是最佳的，即設(shè)
，則必有一無理數(shù)α
不能有無窮多個解，如
就是這樣一個數(shù)；②設(shè)
且不是平方數(shù),
之連分數(shù)展開式中αń可表為
，此處
及
皆為整數(shù)。設(shè)n是最小的正整數(shù)，使
,則
是佩爾方程
的最小解;③利用連分數(shù)可以證明數(shù)論中一個著名的定理：設(shè)素數(shù)p呏1(mod4),則p可表為二整數(shù)的平方和；④在近似計算方面，如求多項式的根的近似值，等等。
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這家伙太懶了，什么都沒寫！
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