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梅森素數(shù)
以馬林·梅森命名的專業(yè)術(shù)語
梅森素數(shù)是專業(yè)術(shù)語，拼音為méi sēn sù shù，是由梅森數(shù)而來。
基本信息
| 中文名 | 梅森素數(shù) |
| 外文名 | Mersenne prime |
| 別名 | 2p－1型素數(shù) |
| 出處 | 以馬林·梅森的名字命名 |
| 問題和猜想 | 梅森素數(shù)是否無窮、如何分布 |
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基本概況
素數(shù)是指在大于1的整數(shù)中只能被1和其自身整除的數(shù)。素數(shù)有無窮多個，但到2018年底卻只發(fā)現(xiàn)有51個素數(shù)能表示成2 －1（p為素數(shù)）的形式，這就是梅森素數(shù)（如3、7、31、127等等）。它是以17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家馬林·梅森的名字命名。
梅森素數(shù)是數(shù)論研究中的一項重要內(nèi)容，自古希臘時代起人們就開始了對梅森素數(shù)的探索。由于這種素數(shù)具有著獨特的性質(zhì)（比方說和完全數(shù)密切相關(guān)）和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多數(shù)學(xué)家（包括歐幾里得、費馬、歐拉等）和無數(shù)的數(shù)學(xué)愛好者對它進行探究。
在現(xiàn)代，梅森素數(shù)在計算機科學(xué)、密碼學(xué)等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用價值。它還是人類好奇心、求知欲和榮譽感的最好見證。
由來
梅森素數(shù)
1640年6月，費馬在給馬林·梅森（Marin Mersenne）的一封信中寫道：“在艱深的數(shù)論研究中，我發(fā)現(xiàn)了三個非常重要的性質(zhì)，我相信它們將成為今后解決素數(shù)問題的基礎(chǔ)。”這封信討論了形如2 －1的數(shù)。
馬林·梅森是當(dāng)時歐洲科學(xué)界一位獨特的中心人物，他與包括費馬在內(nèi)的很多科學(xué)家經(jīng)常保持通信聯(lián)系，討論數(shù)學(xué)、物理等問題。17世紀(jì)時，學(xué)術(shù)刊物和科研機構(gòu)還沒有創(chuàng)立，交往廣泛、熱情誠摯的梅森就成了歐洲科學(xué)家之間聯(lián)系的橋梁，許多科學(xué)家都樂于將成果告訴他，然后再由他轉(zhuǎn)告給更多的人。梅森還是法蘭西學(xué)院的奠基人，為科學(xué)事業(yè)做了很多有益的工作，被選為“100位在世界科學(xué)史上有重要地位的科學(xué)家”之一。
梅森在歐幾里得、費馬等人有關(guān)研究的基礎(chǔ)上對2 －1作了大量的計算、驗證，并于1644年在他的《物理數(shù)學(xué)隨感》一書中斷言：在不大于257的素數(shù)中，當(dāng)p = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257 時，2 －1是素數(shù)，其它都是合數(shù)。前面的7個數(shù)（即2、3、5、7、13、17、19）已被前人所證實，而后面的4個數(shù)（即31、67、127、257）則是梅森自己的推斷。由于梅森在科學(xué)界有著崇高的學(xué)術(shù)地位，人們對其斷言都深信不疑。
尋找歷程
手算筆錄時代
在計算能力低下的公元前，人們僅知道四個2 －1型素數(shù)：3、7、31和127，發(fā)現(xiàn)人已無從考證。15世紀(jì)，又一個沒有留下姓名的人在其手稿中給出了第5個2 －1型素數(shù)：8191。而在梅森之前，意大利數(shù)學(xué)家卡塔爾迪（1548～1626）也對這種類型的數(shù)進行了整理，他在1588年提出131071和524287也是素數(shù)，由此成為第一個在發(fā)現(xiàn)者榜單上留名的人。
手算筆錄的時代，每前進一步，都顯得格外艱難。1772年，在卡塔爾迪之后近200年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（1707～1783）在雙目失明的情況下，靠心算證明了2147483647是一個素數(shù)。這是人們找到的第8個梅森素數(shù)，它共有10位數(shù)，堪稱當(dāng)時世界上已知的最大素數(shù)。歐拉還證明了歐幾里得關(guān)于完全數(shù)定理的逆定理：所有的偶完全數(shù)都具有2 (2 －1) 的形式，其中2 －1是素數(shù)。這表明梅森素數(shù)和偶完全數(shù)是一一對應(yīng)的。
梅森素數(shù)
梅森素數(shù)
梅森素數(shù)
1883年，俄國數(shù)學(xué)家波佛辛（1827～1900）利用盧卡斯定理證明了 也是素數(shù)——這是梅森漏掉的。梅森還漏掉另外兩個素數(shù)：和，它們分別在1911年和1914年被數(shù)學(xué)家鮑爾斯（1875～1952）發(fā)現(xiàn)。
盧卡斯第一個否定了“M為素數(shù)”這一自梅森斷言以來一直被人們相信的結(jié)論，但他未能找到其因子。直到1903年，才由數(shù)學(xué)家科爾（1861～1926）算出M=193707721×761838257287。1922年，數(shù)學(xué)家克萊契克（1882～1957）進一步驗證了M并不是素數(shù)，而是合數(shù)。
在手工計算的漫長年代里，人們歷盡艱辛，一共只找到12個梅森素數(shù)。
計算機時代
20世紀(jì)30年代，美國數(shù)學(xué)家萊默（1905～1991）改進了盧卡斯的工作，給出了一個針對M的新的素性測試方法，即盧卡斯-萊默檢驗法：M>3是素數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)L=0，其中L=4，L=（L－2）modM。這一方法在“計算機時代”發(fā)揮了重要作用。
美國伊利諾伊大學(xué)發(fā)行的紀(jì)念郵戳
梅森素數(shù)
梅森素數(shù)
梅森素數(shù)
1952年，美國數(shù)學(xué)家魯濱遜（1911～1995）在萊默指導(dǎo)下將此方法編譯成計算機程序，使用SWAC型計算機在幾個月內(nèi)，就找到了5個梅森素數(shù)： 、 、 、和。其后，在1957年被黎塞爾（1929～ 2014）證明是素數(shù)；和 在1961年被赫維茲（1937～ ）證明是素數(shù)。
梅森素數(shù)
1963年，美國數(shù)學(xué)家吉里斯（1928～1975）證明 和 是素數(shù)。
梅森素數(shù)
梅森素數(shù)
以IBM360為代表的第三代計算機的出現(xiàn)加快了梅森素數(shù)的尋找步伐，但隨著指數(shù)p值的增大，每一個梅森素數(shù)的產(chǎn)生反而更加艱難。1971年3月4日晚，塔克曼（1915～2002）使用IBM360-91型計算機找到新的梅森素數(shù)。而到1978年10月，世界幾乎所有的大新聞機構(gòu)（包括中國的新華社）都報道了以下消息：兩名年僅18歲的美國高中生諾爾（1960～ ）和尼科爾使用Cyber-174型計算機找到了第25個梅森素數(shù)。
梅森素數(shù)
發(fā)現(xiàn)M1257787的Cray-T94型計算機
梅森素數(shù)
梅森素數(shù)
伴隨數(shù)學(xué)理論的改善，為尋找梅森素數(shù)而使用的計算機也越來越強大，其中包括了著名的超級計算機Cray系列。1979年4月，美國克雷公司計算機專家史洛溫斯基使用Cray-1型計算機找到梅森素數(shù)。使用經(jīng)過改進的Cray-XMP型計算機在1982年至1985年間找到了3個梅森素數(shù)： 、和。但他未能確定M和M之間是否有異于M的梅森素數(shù)。
梅森素數(shù)
1988年，科爾魁特和韋爾什使用NEC-SX2型超高速并行計算機果然發(fā)現(xiàn)。沉寂四年之后，哈威爾實驗室（英國原子能技術(shù)權(quán)威機構(gòu)）的一個研究小組宣布他們找到梅森素數(shù)。
梅森素數(shù)
梅森素數(shù)
1994年1月10日，史洛溫斯基和蓋奇再次奪回發(fā)現(xiàn)已知最大素數(shù)的桂冠——這一素數(shù)是。而下一個梅森素數(shù) 仍是他們的成果，史洛溫斯基由于發(fā)現(xiàn)7個梅森素數(shù)，而被人們譽為“素數(shù)大王” 。1996年發(fā)現(xiàn)的M是迄今為止最后一個由超級計算機發(fā)現(xiàn)的梅森素數(shù)，數(shù)學(xué)家使用了Cray-T94，這也是人類發(fā)現(xiàn)的第34個梅森素數(shù)。
互聯(lián)網(wǎng)時代
使用超級計算機尋找梅森素數(shù)實在太昂貴了，而且可以參與的人也有限，網(wǎng)格這一嶄新技術(shù)的出現(xiàn)使梅森素數(shù)的搜尋又重新回到了“人人參與”的大眾時代。20世紀(jì)90年代中后期，在美國程序設(shè)計師沃特曼和庫爾沃斯基等人的共同努力下，建立了世界上第一個基于互聯(lián)網(wǎng)的分布式計算項目——因特網(wǎng)梅森素數(shù)大搜索（GIMPS）。人們只要在GIMPS的主頁上下載一個計算梅森素數(shù)的免費程序，就可以立即參加該項目來搜尋新的梅森素數(shù)。
梅森素數(shù)
1996年至1998年，GIMPS找到了3個梅森素數(shù)： 、和，發(fā)現(xiàn)者來自法國、英國和美國。
梅森素數(shù)
柯蒂斯·庫珀多次發(fā)現(xiàn)“最大素數(shù)”
梅森素數(shù)
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梅森素數(shù)
梅森素數(shù)
進入21世紀(jì)，隨著個人計算機的進一步普及和計算速度的提升，人們又找到不少更大的梅森素數(shù)。加拿大青年志愿者卡梅倫在2001年11月找到，拉開了新世紀(jì)尋找梅森素數(shù)的序幕。此后在2003年至2006年間，GIMPS又相繼發(fā)現(xiàn)5個梅森素數(shù)： 、 、 、和，最大素數(shù)紀(jì)錄距離1000萬位大關(guān)越來越近。
梅森素數(shù)
梅森素數(shù)
此后一年內(nèi)，又有兩個1000萬位以上的梅森素數(shù)被德國和挪威的志愿者先后找出。距史密斯的發(fā)現(xiàn)僅相隔兩個星期，而2009年4月找到的 與史密斯發(fā)現(xiàn)的素數(shù)相比“僅”相差14萬位數(shù)。
梅森素數(shù)
2013年和2016年，美國中央密蘇里大學(xué)數(shù)學(xué)教授柯蒂斯·庫珀利用校區(qū)內(nèi)的800臺電腦連續(xù)發(fā)現(xiàn)了兩個梅森素數(shù) 和。后者其實早在2015年9月就已經(jīng)被電腦計算出結(jié)果，但由于一臺協(xié)調(diào)計算結(jié)果的電腦服務(wù)器出了點故障，這一結(jié)果直到2016年1月服務(wù)器例行維護時才被發(fā)現(xiàn)。庫珀通過GIMPS項目總共發(fā)現(xiàn)了四個梅森素數(shù)。
梅森素數(shù)
2018年4月8日，在發(fā)現(xiàn)M超過9年后，該數(shù)已被確定為第47個梅森素數(shù)。
梅森素數(shù)表
至2018年12月，總計發(fā)現(xiàn)51個梅森素數(shù)，并且確定M位于梅森素數(shù)序列中的第47位。現(xiàn)把它們的數(shù)值、位數(shù)、發(fā)現(xiàn)時間、發(fā)現(xiàn)者等列表如下：
M1～M12
序號 | p | 梅森素數(shù) | 位數(shù) | 發(fā)現(xiàn)時間 | 發(fā)現(xiàn)者 |
 梅森素數(shù) | 2 | 3 | 1 | 古代 | 古人 |
 梅森素數(shù) | 3 | 7 | 1 | 古代 | 古人 |
 | 5 | 31 | 2 | 古代 | 古人 |
 | 7 | 127 | 3 | 古代 | 古人 |
 梅森素數(shù) | 13 | 8191 | 4 | 1456年 | 無名氏 |
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M13～M34
序號 | p | 位數(shù) | 發(fā)現(xiàn)時間 | 發(fā)現(xiàn)者 | 計算機 |
 | 521 | 157 | 1952 / 01 / 30 | Raphael MitchelRobinson | SWAC |
 梅森素數(shù) | 607 | 183 | 1952 / 01 / 30 | Raphael MitchelRobinson | SWAC |
 | 1,279 | 386 | 1952 / 06 / 25 | Raphael MitchelRobinson | SWAC |
 梅森素數(shù) | 2,203 | 664 | 1952 / 10 / 07 | Raphael MitchelRobinson | SWAC |
 梅森素數(shù) | 2,281 | 687 | 1952 / 10 / 09 | Raphael MitchelRobinson | SWAC |
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M35～M51
序號 | p | 位數(shù) | 發(fā)現(xiàn)時間 | 發(fā)現(xiàn)者 | 國家 |
 | 1,398,269 | 420,921 | 1996 / 11 / 13 | GIMPS / Joel Armengaud | 法國 |
 | 2,976,221 | 895,932 | 1997 / 08 / 24 | GIMPS / Gordon Spence | 英國 |
 | 3,021,377 | 909,526 | 1998 / 01 / 27 | GIMPS / Roland Clarkson | 美國 |
 | 6,972,593 | 2,098,960 | 1999 / 06 / 01 | GIMPS / NayanHajratwala | 美國 |
 | 13,466,917 | 4,053,946 | 2001 / 11 / 14 | GIMPS / MichaelCameron | 加拿大 |
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注：
1.各表分別列出人工、借助計算機以及通過GIMPS項目發(fā)現(xiàn)的梅森素數(shù)。
2.目前還不確定在M47和M51之間是否還存在未知的梅森素數(shù)，其后的序號用 * 標(biāo)出。
3.后兩表梅森素數(shù)的數(shù)值從略。
GIMPS項目
EFF向獲獎?wù)撸ㄓ乙唬╊C發(fā)獎金
為了激勵人們尋找梅森素數(shù)和促進網(wǎng)格技術(shù)發(fā)展，總部設(shè)在美國舊金山的電子前沿基金會（EFF）于1999年3月向全世界宣布了為通過GIMPS項目來尋找新的更大的梅森素數(shù)而設(shè)立的獎金。它規(guī)定向第一個找到超過100萬位數(shù)的個人或機構(gòu)頒發(fā)5萬美元。后面的獎金依次為：超過1000萬位數(shù)，10萬美元；超過1億位數(shù)，15萬美元；超過10億位數(shù)，25萬美元。除此之外，根據(jù)EFF關(guān)于獎金設(shè)立的新規(guī)定，任何一位新梅森素數(shù)的發(fā)現(xiàn)者都將獲得3000美元的研究發(fā)現(xiàn)獎。其實絕大多數(shù)志愿者參與該項目并不是為了金錢，而是出于樂趣、榮譽感和探索精神。
目前人們通過GIMPS項目已找到17個梅森素數(shù)，其發(fā)現(xiàn)者來自美國（11個）、英國（1個）、法國（1個）、德國（2個）、加拿大（1個）和挪威（1個）。世界上有190多個國家和地區(qū)超過60萬人參加了這一國際合作項目，并動用了上百萬臺計算機（CPU）聯(lián)網(wǎng)來尋找新的梅森素數(shù)。該項目的計算能力已超過當(dāng)今世界上任何一臺最先進的超級矢量計算機的計算能力，運算速度達到每秒2300萬億次。著名的《自然》雜志說：GIMPS項目不僅會進一步激發(fā)人們對梅森素數(shù)尋找的熱情，而且會引起人們對網(wǎng)格技術(shù)應(yīng)用研究的高度重視。
意義
梅森素數(shù)自古以來就是數(shù)論研究的一項重要內(nèi)容，歷史上有不少大數(shù)學(xué)家都專門研究過這種特殊形式的素數(shù)。自古希臘時代起直至17世紀(jì)，人們尋找梅森素數(shù)的意義似乎只是為了尋找完全數(shù)。但自梅森提出其著名斷言后，特別是歐拉證明了歐幾里得關(guān)于完全數(shù)定理的逆定理以來，偶完全數(shù)已僅僅是梅森素數(shù)的一種“副產(chǎn)品”了。
尋找梅森素數(shù)在當(dāng)代已有了十分豐富的意義。尋找梅森素數(shù)是目前發(fā)現(xiàn)已知最大素數(shù)的最有效途徑。自歐拉證明M為當(dāng)時最大的素數(shù)以來，在發(fā)現(xiàn)已知最大素數(shù)的世界性競賽中，梅森素數(shù)幾乎囊括了全部冠軍。
尋找梅森素數(shù)是測試計算機運算速度及其他功能的有力手段，如M就是1996年9月美國克雷公司在測試其最新超級計算機的運算速度時得到的。梅森素數(shù)在推動計算機功能改進方面發(fā)揮了獨特作用。發(fā)現(xiàn)梅森素數(shù)不僅需要高功能的計算機，還需要素數(shù)判別和數(shù)值計算的理論與方法以及高超巧妙的程序設(shè)計技術(shù)等等，因此它的研究推動了“數(shù)學(xué)皇后” ——數(shù)論的發(fā)展，促進了計算數(shù)學(xué)和程序設(shè)計技術(shù)的發(fā)展。
尋找梅森素數(shù)最新的意義是：它促進了分布式計算技術(shù)的發(fā)展。從最新的17個梅森素數(shù)是在因特網(wǎng)項目中發(fā)現(xiàn)這一事實，可以想象到網(wǎng)絡(luò)的威力。分布式計算技術(shù)使得用大量個人計算機去做本來要用超級計算機才能完成的項目成為可能，這是一個前景非常廣闊的領(lǐng)域。它的探究還推動了快速傅立葉變換的應(yīng)用。
梅森素數(shù)在實用領(lǐng)域也有用武之地，現(xiàn)在人們已將大素數(shù)用于現(xiàn)代密碼設(shè)計領(lǐng)域。其原理是：將一個很大的數(shù)分解成若干素數(shù)的乘積非常困難，但將幾個素數(shù)相乘卻相對容易得多。在這種密碼設(shè)計中，需要使用較大的素數(shù)，素數(shù)越大，密碼被破譯的可能性就越小。
由于梅森素數(shù)的探究需要多種學(xué)科和技術(shù)的支持，也由于發(fā)現(xiàn)新的“大素數(shù)”所引起的國際影響，使得對于梅森素數(shù)的研究能力已在某種意義上標(biāo)志著一個國家的科技水平，而不僅僅是代表數(shù)學(xué)的研究水平。英國頂尖科學(xué)家、牛津大學(xué)教授馬科斯·索托伊甚至認(rèn)為它的研究進展不但是人類智力發(fā)展在數(shù)學(xué)上的一種標(biāo)志，同時也是整個科學(xué)發(fā)展的里程碑之一。
梅森素數(shù)這顆數(shù)學(xué)海洋中的璀璨明珠正以其獨特的魅力，吸引著更多的有志者去尋找和研究。
理論探索
梅森素數(shù)的計算公式
3*5/3.8*7/5.8*11/9.8*13/11.8*......*P/(P-1.2)-1=M
P是梅森數(shù)的指數(shù)，M是P以下的梅森素數(shù)的個數(shù)。
以下是計算的數(shù)值與實際數(shù)的情況：
指數(shù)5，計算2.947，實際3 ，誤差0.053；
指數(shù)7，計算3.764，實際4 ，誤差 0.236；
指數(shù)13，計算4.891，實際5，誤差0.109；
指數(shù)17，計算5.339，實際6，誤差0.661；
指數(shù)19，計算5.766，實際7，誤差1.234；
指數(shù)31，計算6.746，實際8，誤差1.254；
指數(shù)61，計算8.445，實際9，誤差0.555；
指數(shù)89，計算9.201，實際10，誤差0.799；
指數(shù)107，計算9.697，實際11，誤差1.303；
指數(shù)127，計算10.036 ，實際12，誤差1.964；
指數(shù)521，計算13.818，實際13，誤差-0.818；
指數(shù)607，計算14.259，實際14，誤差-0.259；
指數(shù)1279，計算16.306，實際15，誤差-1.306；
指數(shù)2203，計算17.573，實際16，誤差-1.573；
指數(shù)2281，計算17.941，實際17，誤差-0.941；
這個公式是根據(jù)梅森素數(shù)的分布規(guī)律得出的。萬數(shù)1為首，1被除外了，所以要減去1。在不考慮重疊問題，應(yīng)該P減1就可以了，這里已考慮重疊問題，所以就P減1.2.在梅森數(shù)的指數(shù)漸漸增大，1.2是否合適，還要等實際檢驗。
在2^N-1的數(shù)列中，一個素數(shù)作為素因子第一次出現(xiàn)在指數(shù)N的數(shù)中，這個素數(shù)作為因子數(shù)在2^N-1數(shù)列中就以N為周期出現(xiàn)。在這種數(shù)列中指數(shù)是偶數(shù)的都等于3乘以四倍金字塔數(shù)。
在2^N-1數(shù)列中，指數(shù)大于6的，除梅森素數(shù)外，都有新增一個或一個以上的素數(shù)為因子數(shù)，新增的因子數(shù)減1能被這個指數(shù)整除。
一個梅森合數(shù)的因子數(shù)只有唯一一次出現(xiàn)在一個梅森合數(shù)中。
一個是梅森素數(shù)的素數(shù)，它永遠(yuǎn)不是梅森合數(shù)的因子數(shù)。
一個是前面的梅森合數(shù)的因子數(shù)的素數(shù)，它永遠(yuǎn)不會是后面的梅森合數(shù)的因子數(shù)。
所有梅森合數(shù)的因子數(shù)減1都能被這個梅森合數(shù)的指數(shù)整除，商是偶數(shù)。
一個素數(shù)在不是梅森合數(shù)的準(zhǔn)梅森數(shù)中第一次以因子數(shù)出現(xiàn)，這個素數(shù)減1能被這個準(zhǔn)梅森數(shù)的指數(shù)整除，商不一定是偶數(shù)。
梅森素數(shù)都在[4^(1-1)+4^(2-1)+4^(3-1)+......+4^(n-1)]*6+1數(shù)列中，括符里種數(shù)暫叫四倍金字塔數(shù)。
凡是一個素數(shù)是四倍金字塔數(shù)的因子數(shù)，以后就不是梅森合數(shù)的因子數(shù)。
在4^(1-1)+4^(2-1)+4^(3-1)+......+4^(n-1)數(shù)列中的數(shù)，有不等于6NM+-（N+M）的數(shù)乘以6加上1都是梅森素數(shù)。
在2^P-1平方根以下的素數(shù)都以素因子在以前準(zhǔn)梅森數(shù)中出現(xiàn)了，那這個梅森數(shù)必是梅森素數(shù)。但它的逆定理是不成立的。如果還沒有出現(xiàn)在以前的準(zhǔn)梅森數(shù)中的素數(shù)，它也不定是梅森合數(shù)的因子數(shù)。
梅森合數(shù)的因子數(shù)都是8N+1和8N-1形的素數(shù)。
試證梅森素數(shù)
在指數(shù)n是無限多的2^n-1數(shù)列中梅森數(shù)和梅森素數(shù)只占其中的很少比例。
根據(jù)費馬小定理，每一個奇素數(shù)都會以數(shù)因子出現(xiàn)在2^n-1數(shù)列中，只不過有些提前出現(xiàn)，有些最后出現(xiàn)。只有梅森素數(shù)是最早出現(xiàn)在這個數(shù)列中的。其他有素數(shù)都不會最早出現(xiàn)，最遲出現(xiàn)的素數(shù)是在本數(shù)減1的數(shù)中，也就是費馬小定理的地方。
每一個奇素數(shù)都十分有規(guī)律作為因子數(shù)出現(xiàn)在2^n-1數(shù)列中，一個素數(shù)第一次出現(xiàn)在2^n-1數(shù)中（包括梅森素數(shù)），這個素數(shù)就以n為周期反復(fù)出現(xiàn)在2^n-1數(shù)列中，如3第一次出現(xiàn)在n=2中，指數(shù)能被2整除的都有3的因子數(shù);7第一次出現(xiàn)在n=3，指數(shù)能被3整除的都有7的因子數(shù);5第一次出現(xiàn)在n=4中，指數(shù)能被4整除都有5的因子數(shù)。一個素數(shù)出現(xiàn)在2^n-1數(shù)列n中，不管n是素數(shù)不是素數(shù)，只要用小于n的全部奇素數(shù)去篩，指數(shù)n都在其中。如果是合數(shù)與前面的素數(shù)是重疊的，所以不用重篩了。
要篩完2^n-1數(shù)列中所有數(shù)因子，必需用少于或等于2^n-1平方根以內(nèi)的所有素數(shù)去篩，這樣剩下沒有篩的就是梅森素數(shù)了。
梅森素數(shù)的篩法
根據(jù)費馬小定理，每一個奇素數(shù)都會以素因子的身份出現(xiàn)在2^n-1數(shù)列中，只不過有些出現(xiàn)早，有些出現(xiàn)遲。
每一個奇素數(shù)第一次出現(xiàn)在2^n-1數(shù)列指數(shù)n的數(shù)中，這個n就是這個素數(shù)的對應(yīng)數(shù)，它就以n為周期反復(fù)出現(xiàn)。
已經(jīng)知道梅森素數(shù)都出現(xiàn)在梅森數(shù)中。只要篩去梅森數(shù)中的梅森合數(shù)，剩下就是梅森素數(shù)。
將梅森數(shù)列展開，從3的對應(yīng)數(shù)2開始，2點一點；5的對應(yīng)數(shù)是4，4是合數(shù)，就不用操作；7的對應(yīng)數(shù)是3，在3點一點；11的對應(yīng)數(shù)是10，是合數(shù)，不用操作；13的對應(yīng)數(shù)是12，12是合數(shù)，不用操作；這樣一直點下去，點到梅森數(shù)的指數(shù)以前的數(shù)都能篩凈。凡是一個梅森數(shù)點上兩次和兩次以上的都給劃去，剩下就是只有點一次的梅森數(shù)了，這些梅森數(shù)全是梅森素數(shù)。
這個篩法在素數(shù)很大時找它的對應(yīng)數(shù)有點困難。
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